克罗内克Delta函数，虽浅显却影响深切，它为许大皆学和物理领域的磋议提供了基础。这个函数以德国数学家利奥波德·克罗内克的名字定名，以其专有的特点在诸大皆学表面和公式中推崇着热切作用。

在表面物理中，咱们实在无法念念象莫得克罗内克δ（Kronecker delta）的情况，它的形状如下，

这个相对浅显但功能庞杂的张量（tensor）在表面物理的统共治域皆有应用。举例，它被用于将长抒发式写得更紧凑，以及简化复杂的抒发式。与莱维-奇维塔张量（Levi-Civita tensor）联接使用时，这两个张量相等灵验！

δ_ij 取值为1或0，具体取值取决于其两个下标 i 和 j 的值。下主义最大值对应于探究的维数，是以在三维空间中，i 和 j 的范围是1到3。当 i 和 j 卓著时，δ_ij等于1。当 i 和 j 不等时，δ_ij 等于0，

让咱们看一些例子，

因为下标卓著。

因为下标不卓著。

爱因斯坦乞降商定（Einstein's Summation convention）

为了紧凑地暗示像这么：

或像这么的抒发式：

咱们商定如下的乞降端正：不详乞降标记，

但要记着，淌若在抒发式中出现两个交流的下标，那么就对该下标乞降。

乞降商定的另一个优点（除了紧凑性）是形状上的可交换性。举例，你不错按照你但愿的礼貌写下抒发式，举例这么：

这可能匡助你看到什么不错进一步缩减或简化。

但有些例外，举例与微分运算符

partial_j，作用于一个后继项。你不行将被求导的项转移到微分前边

是以在使用下标暗示法时，应该留神科罚运算符。

当前让咱们学习一些使用克罗内克函数的热切端正。

性质1：克罗内克函数是对称的，

为什么？把柄界说，淌若下标i和j卓著，那么δ_ij 等于1，那么δ_ji也等于1。淌若下标不等，δ_ij=0，δ_ji也等于0。是以，克罗内克函数是对称的！

性质2：下标缩减

淌若两个或更多的克罗内克函数的乘积包含一个乞降下标，那么乘积不错缩减，使得乞降下标 j 散失。

为什么？让咱们探究举例当下标 i 和 j 卓著的情况：i = j，而下标 j 和 k 不等：j ≠ k ，那么就得出 i 和 k 也必须不等：i ≠ k。是以δ_jk 是0，因此左手边的通盘项是0：

而左手边的δ_ik 亦然0，因为i和k是不同的，是以等式修复。

让咱们通过一些例子来更好地相识，

下一个例子：

性质 3：下标滚动

淌若在 a_j 中的下标也出当前克罗内克函数 δ _jk 中，那么δ 散失，而因子 a_j 获得另一个下标 k。

这个端正基本上是下标缩减的另一种情况。这个端正告诉你，你也不错缩减不需要由克罗内克尔δ佩带的乞降下标。让咱们再举一个例子，

性质 4：卓著下标乞降

淌若 j 从1开动到 n，那么：

为什么这么？把柄乞降商定：在这里，乞降是通过 j 进行的。是以

每个 δ 皆是1，因为下标值是卓著的。

δ 的标量积

当前咱们来写出带有克罗内克δ的标量积。探究一个由x，y，z三个部分组成的三维向量v = (x, y, z)：

你不错按照下述能力在圭臬正交基下暗示此向量：

这里x，y和z是彼此正交并被表率化的三个基向量。在这个例子中，他们组成一个正交的三维坐标系统。

δ要用索引标记写出向量。这里咱们毋庸不同的字母x，y，z来暗示向量的重量，而是接管一个字母（在这里是字母v）然后纠合对向量的重量和基向量进行编号。然后，向量的重量被称为v_1，v_2，v_3，况兼基张开如下所示：

这种索引标记的优点在于，这么你长期不会用完向量重量的数字。试念念一下一个五十维的向量，莫得满盈的字母给向量的每一个重量v_1，v_2直到v_50一个专有的字母。

另一个索引标记的优点在于，通过这种神志对向量重量进行编号，不错用乞降标记更紧凑地暗示基的张开，

淌若不详乞降标记，它就变得更紧凑，

在这里，咱们对索引j进行乞降。

当前咱们知说念了一个向量如安在方针标记中暗示，咱们不错类比地写出两个向量a和b的标量积，

使用刚刚学习的向量的索引暗示：

在索引标记中，你不错按你可爱的神志排序因子。这便是索引标记的优点，其中交换律适用。运用这个，把括号放在基向量周围，以强调引入克罗内克δ的热切性：

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基向量e_i和e_j是正交表率的。回忆一下关于两个向量来说，成为正交表率化的属性意味着什么？他们的标量积的要么是1，要么是0：

两个正交表率化向量的标量积偶合像克罗内克函数，

因此，用δ替换两个基向量的标量积：

把柄第三条性质，不错缩减乞降索引j，

然后就得到了标量积的精准界说，

为了训诲，咱们不错写出对i和j的乞降，列出统共可能的i和j的组合：

如你所见，由于克罗内克函数的界说，共9个重量中唯有3个不为零，即i = j；不详统共不卓著的索引的乞降项（0）；况兼，使用克罗内克δ的界说有：

这就得到了咱们熟练的标量积：

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